В ходе статистического изучения функциональных связей достаточно часто возникает задача аппроксимации результатов наблюдений аналитической зависимостью. Один из подходов к ее решению основывается на теореме Вейерштрасса, гласящей, что любая непрерывная функция с точностью до сколь угодно малого δ> 0 может быть аппроксимирована многочленом. Например:

Для построения подобных полиномиальных моделей наряду с другими методами используют регрессионный анализ. Выбор вида (степени) многочлена при этом предоставлен интуиции исследователя.

Из рассмотренной задачи непосредственно следуют две другие задачи:

1) определение коэффициентов β_s выбранного многочлена и статистическая оценка их значимости;

2) проверка (оценка) адекватности выбранной математической модели.

Решение перечисленных задач возможно лишь при выполнении ряда допущений, или предпосылок, регрессионного анализа:

1. Результаты измерений (y₁, y₂, ...,y_n) - попарно независимые случайные величины, т.е. корреляционный момент связи К_уiуj =0, i,j = 1, 2, ..., n.

 2. Случайные величины (y₁, y₂, ...,y_n) имеют нормальное распределение (при нормальном распределении отсутствие корреляции свидетельствует о независимости случайных величин).

3. Дисперсия воспроизводимости σ_y², однородна по всему факторному пространству.

4. Управляемые переменные (факторы) являются неслучайными переменами, т.е.  или

5. Управляемые переменные линейно независимы, т.е. ни одна из переменных не может быть представлена в виде линейных комбинаций других.

6. В выражении Ү =η(x)+ε(x), где х (х₁, х₂,..., х_n), предполагается М[ε(х)]=0, т.е. M[Y]=η(х).

7. Функция отклика (уравнение регрессии) линейна по параметрам, т.е. 

Наиболее распространенными примерами линейных по параметрам функций являются полиномы различных степеней.