Задача

По результатам изучения зависимости объёмов продаж компании в среднем за месяц от расходов на рекламу была получена следующая модель с распределенным лагом (млн. руб.)

y_t = -0,67 + 4,5 x_t  + 3,0  x_t-1  + 1,5 x_t-2  + 0,5 x_t-3

Следует провести анализ параметров модели с распределённым лагом.

Решение

Коэффициент регрессии при переменной x_t называется краткосрочным мультипликатором. В данной модели краткосрочный мультипликатор равен 4,5. Это означает, что увеличение расходов на рекламу на 1 млн. руб. приведет к росту объемов продаж компании на 4,5 млн. руб. в том же периоде.

В момент времени t+1 под влиянием увеличения расходов на рекламу объем продаж вырастет на 4,5+3,0=7,5 млн. руб. В момент t+2 – на 4,5+3,0+1,5=9,0млн. руб., в момент t+3 – 4,5+3,0+1,5+0,5=9,5 млн. руб. Эта величина называется долгосрочным мультипликатором и характеризует изменение объема продаж компании под влиянием фактора x в долгосрочном периоде t+3.

Относительные коэффициенты регрессии рассчитываются как отношение коэффициентов регрессии при каждой переменной к долгосрочному мультипликатору:

Таким образом, 47,4% изменения объема продаж, вызванного изменение затрат на рекламу, происходит в момент времени t, 31,6% – в момент времени t+1; 15,8% – в момент времени t+2 и только 5,3% – в момент времени t+3.

Средний лаг в модели определяется по формуле средней арифме­тической взвешенной:

где:   j – номер периода;
β_j – относительные коэффициенты регрессии.

Средний лаг равен:

Средний лаг составляет менее месяца, это означает, что основной эффект от рекламы проявляется сразу же.