Задача 15

Центром экономических исследований при органах регионального управления проведено выборочное наблюдение с целью изучения расходов населения на коммунальные услуги. В результате двухпроцентного обследования получены следующие данные:

Определите:

1. с вероятностью 0,997 доверительный интервал средней величины расходов населения на коммунальные услуги по всему населению региона;
2. с вероятностью 0,954 долю населения региона, у которых расходы на коммунальные услуги находятся в пределах 600-1000 руб.;
3. численность выборки, чтобы ее ошибку уменьшить в 2 раза.

Решение

Для определения средней величины доходов населения необходимо определить середину интервала и умножить ее на частоту данного интервала.

Средняя величина расходов населения на коммунальные услуги равна:

Доля населения региона, у которых расходы на коммунальные услуги находятся в пределах 600-1000 руб.:

Предельная ошибка для среднего значения определяется по формуле:

где:    t – нормированное отклонение – «коэффициент доверия», зависящий от вероятности, с которой гарантируется предельная ошибка выборки (для вероятности 0,954 – 2, для 0,997 – 3);
S² – выборочная дисперсия;
n – объем выборки;
N – объем генеральной совокупности.

Дисперсия выборки равна:

Предельная ошибка выборки для среднего значения равна:

Следовательно, доверительный интервал для среднего значения:

Предельная ошибка выборки для доли определяется следующим образом:

где:   w – выборочная доля.

Предельная ошибка выборки для доли населения, у которых расходы на коммунальные услуги находятся в пределах 600-1000 руб.:

Доверительный интервал для доли:

Необходимую численность выборки, чтобы уменьшить ее ошибку в два раза, можно определить из формулы предельной ошибки выборки для средней величины (множитель  для простоты расчетов отбросим):

Желаемая предельная ошибка составляет 67,7 руб. (135,3/2). Отсюда объем выборки равен:

Объем генеральной совокупности равен 1000 тыс. чел. (20 тыс./0,02), следовательно новый объем выборки составит:

Выводы:   средние расходы населения на коммунальные услуги, рассчитанные на основе 2%-ной выборки, равны 822 руб./чел., а доля населения, расходы которых на коммунальные услуги составляют от 600 до 1000 руб./чел. – 65% от общей численности.

Для распространения полученных результатов на генеральную совокупность были рассчитаны предельные ошибки выборки и получены доверительные интервалы: для среднего – , для доли населения – .

Чтобы уменьшить ошибку выборки в два раза, объем выборки необходимо увеличить до 81,6 тыс. чел. или 8,16% от генеральной совокупности.